Tìm hiểu phương pháp tích phân từng phần và cách áp dụng vào thực tiễn

Phương pháp tích phân từng phần và những bài bác tập luyện vận dụng

I. LÝ THUYẾT VỀ TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

Trong giải tích toán học tập, phương pháp tích phân từng phần là quy trình dò thám tích phân của tích những hàm dựa vào tích phân những đạo hàm và nguyên vẹn hàm của bọn chúng. Phương pháp này được dùng nhằm chuyển đổi nguyên vẹn hàm của tích những hàm trở thành một nguyên vẹn hàm tuy nhiên đáp án hoàn toàn có thể được nhìn thấy đơn giản và dễ dàng rộng lớn.

Bạn đang xem: Tìm hiểu phương pháp tích phân từng phần và cách áp dụng vào thực tiễn

Quy tắc hoàn toàn có thể suy rời khỏi bằng phương pháp tích hợp ý quy tắc nhân của đạo hàm. Nếu $u = u(x)$ và $du = u'(x) dx$, nhập bại liệt $v = v(x)$ và $dv = v'(x) dx$, thì tích phân từng phần tuyên bố rằng:

$$\int u dv = uv – \int v du$$

Có những công thức tổng quát mắng rộng lớn của tích phân từng phần mang đến tích phân Riemann-Stieltjes và tích phân Lebesgue-Stieltjes. Chuỗi số cũng đều có quy mô tách rộc rạc tương tự động gọi là tổng từng phần.

Định lý cho thấy nếu như $u(x)$ và $v(x)$ là nhị hàm khả vi liên tiếp, thì tích phân từng phần của tích của bọn chúng hoàn toàn có thể được xem bởi công thức:

$$\int u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) – \int v(x)u'(x)dx$$

Cách tính tích phân từng phần

II. Các bước tính tích phân từng phần

Các bước tính tích phân từng phần như sau:

Bước 1:

Biến thay đổi tích phân ban sơ về dạng ∫u dv.

Bước 2:

Đặt $u$ là một trong những nguyên vẹn hàm của $v'(x)$.

Bước 3:

Khi bại liệt, tích phân từng phần hoàn toàn có thể được xem bởi công thức $\int v du$.

Ví dụ, nhằm tính $\int x^2 e^x dx$ bởi cách thức tích phân từng phần, tớ lựa chọn $u(x) = x^2$ và $v'(x) = e^x$. Từ bại liệt, tớ tính được $u'(x) = 2x$ và $v(x) = e^x$. Thay độ quý hiếm $u$ và $v’$ nhập công thức, tớ có:

$$\int x^2 e^x dx = x^2 e^x – \int 2x e^x dx$$

Tiếp theo dõi, tớ lựa chọn $u(x) = 2x$ và $v'(x) = e^x$. Từ bại liệt, tớ tính được $u'(x) = 2$ và $v(x) = e^x$. Thay độ quý hiếm $u$ và $v’$ nhập công thức, tớ có:

$$\int 2x e^x dx = 2x e^x – \int 2 e^x dx = 2x e^x – 2e^x$$

Thay độ quý hiếm tích phân từng phần nhập công thức ban sơ, tớ có:

$$\int x^2 e^x dx = x^2 e^x – 2x e^x + 2e^x + C$$

Trong bại liệt, $C$ là hằng số tích vô cùng.

III. Thứ tự động ưu tiên lựa chọn u

Khi lựa chọn $u$ và $v$, tớ hoàn toàn có thể tuân theo dõi trật tự ưu tiên sau đây: logarit, nhiều thức, lượng giác và nón.

II. BÀI TẬP VẬN DỤNG

Có nhiều bài bác tập luyện vận dụng cách thức tích phân từng phần nhập giải tích và toán học tập phần mềm. Ví dụ:

Bài tập luyện 1: Tính tích phân $\int x^2 e^x dx$ bởi cách thức tích phân từng phần.

Giải:

Ta lựa chọn $u(x) = x^2$ và $v'(x) = e^x$, chính vì thế $u'(x) = 2x$ và $v(x) = e^x$. sát dụng công thức tích phân từng phần, tớ có:

$$\int x^2 e^x dx = x^2 e^x – \int 2x e^x dx$$

Chọn $u(x) = 2x$ và $v'(x) = e^x$, chính vì thế $u'(x) = 2$ và $v(x) = e^x$. sát dụng lại công thức tích phân từng phần, ta

có:

$$\int 2x e^x dx = 2x e^x – \int 2 e^x dx = 2x e^x – 2e^x$$

Thay độ quý hiếm tích phân từng phần nhập công thức ban sơ, tớ được:

$$\int x^2 e^x dx = x^2 e^x – 2x e^x + 2e^x + C$$

Trong bại liệt, $C$ là hằng số tích vô cùng.

Bài tập luyện 2: Tính tích phân $\int_0^1 x e^{x^2} dx$ bởi cách thức tích phân từng phần.

Giải:

Ta lựa chọn $u(x) = x$ và $v'(x) = e^{x^2}$, chính vì thế $u'(x) = 1$ và $v(x) = \int e^{x^2} dx$. Để tính giá tốt trị của $v(x)$, tớ dùng cách thức thay cho thay đổi biến hóa số bằng phương pháp lựa chọn $t = x^2$, chính vì thế $dt/dx = 2x$ và $dx = dt/(2x)$. Vì vậy:

Xem thêm: 2 loại cá nhiều thịt, ít xương, giàu canxi hơn cả sữa, gặp nên mua ngay

$$\int e^{x^2} dx = \frac{1}{2} \int e^t \frac{dt}{\sqrt{t}} = \frac{1}{2} \int t^{-1/2} e^t dt$$

Chọn $u(t) = t^{-1/2}$ và $v'(t) = e^t$, chính vì thế $u'(t) = -1/2 t^{-3/2}$ và $v(t) = e^t$. sát dụng công thức tích phân từng phần, tớ có:

$$\int t^{-1/2} e^t dt = 2\sqrt{t} e^t – 2 \int t^{1/2} e^t dt$$

Thay $t = x^2$ và tính độ quý hiếm của $\int_0^1 t^{1/2} e^t dt$ bằng phương pháp vận dụng cách thức tích phân từng phần, tớ có:

$$\int_0^1 x e^{x^2} dx = \left. \frac{1}{2} e^{x^2} \right|_0^1 = \frac{1}{2} (e – 1)$$

Do bại liệt, tích phân tiếp tục mang đến có mức giá trị bởi $\frac{1}{2} (e – 1)$.

Như vậy, cách thức tích phân từng phần là một trong những dụng cụ hữu ích nhập giải tích và toán học tập phần mềm nhằm đo lường những tích phân phức tạp.

Tích phân và cách thức tính tích phân từng phần

Trong toán học tập, tích phân là một trong những phép tắc đo lường cần thiết và được dùng thoáng rộng trong số nghành nghề dịch vụ như cơ vật lý, kinh tế tài chính và khoa học tập PC. Tích phân là quy trình dò thám diện tích S bên dưới đàng cong của một hàm số nhập một khoảng tầm xác lập. Tuy nhiên, nhằm tính được tích phân của một hàm số phức tạp, người tớ thường được sử dụng những cách thức đo lường không giống nhau, nhập bại liệt tích phân từng phần là một trong những trong mỗi cách thức thịnh hành nhất.

I. Tích phân từng phần là gì?

Tích phân từng phần là cách thức tính tích phân của tích những hàm dựa vào tích phân những đạo hàm và nguyên vẹn hàm của bọn chúng. Nó được dùng nhằm chuyển đổi nguyên vẹn hàm của tích những hàm trở thành một nguyên vẹn hàm tuy nhiên đáp án hoàn toàn có thể được nhìn thấy đơn giản và dễ dàng rộng lớn. Quy tắc hoàn toàn có thể suy rời khỏi bằng phương pháp tích hợp ý quy tắc nhân của đạo hàm.

Tích phân và cách thức tính tích phân từng phần

I. Tích phân từng phần là gì?

Ví dụ về tính chất tích phân từng phần

Bài toán

Tính tích phân: ∫₁^e x² ln(x)dx

Giải quyết bài bác toán

Bước 1: Biến thay đổi tích phân ban sơ theo dõi công thức: ∫x² ln(x)dx = (1/3)x³ ln(x) – (1/9)x³ + C

Bước 2: sát dụng cách thức tích phân từng phần bằng phương pháp phân tách đoạn tích phân trở thành những phân đoạn giản dị và đơn giản rộng lớn. Ví dụ, phân tách đoạn từ một cho tới e trở thành những đoạn 1 cho tới 2, 2 cho tới 3, 3 cho tới e

Bước 3: Tính tích phân của từng phân đoạn. Ví dụ, tính tích phân của phân đoạn từ một cho tới 2:

∫₁² x² ln(x)dx = (1/3)x³ ln(x) – ∫₁² (1/3)x² dx = (1/3)x³ ln(x) – (1/9)x³ |₁² = (8/27) ln(2) – (8/27) + (1/27)

Bước 4: Tổng hợp ý những thành phẩm tính được kể từ những phân đoạn nhằm dò thám rời khỏi thành phẩm của việc. Ví dụ, thành phẩm của việc là:

∫₁^e x² ln(x)dx = (8/27) ln(2) – (1/9)e³ + (1/27)

Bài toán 1

Hãy tính tích phân từng phần của hàm số f(x) = x³ + x² + x + 1 bên trên đoạn kể từ 0 cho tới 1:

Giải pháp

Bước 1: Biến thay đổi tích phân ban sơ theo dõi công thức:

∫₀¹ (x³ + x² + x + 1)dx = (1/4)x⁴ + (1/3)x³ + (1/2)x² + x |₀¹

Bước 2: Chia đoạn tích phân trở thành những phân đoạn giản dị và đơn giản rộng lớn. Ví dụ, phân tách đoạn kể từ 0 cho tới 1 trở thành những đoạn 0 cho tới 0.25, 0.25 cho tới 0.5, 0.5 cho tới 0.75 và 0.75 cho tới 1

Bước 3: Tính tích phân của từng phân đoạn:

∫₀^0.25 (x³ + x² + x + 1)dx = (1/4)(0.25)⁴ + (1/3)(0.25)³ + (1/2)(0.25)² + 0.25 ≈ 0.02734
∫_0.25^0.5 (x³ + x² + x + 1)dx ≈ 0.15625
∫_0.5^0.75 (x³ + x² + x + 1)dx ≈ 0.37109
∫_0.75¹ (x³ + x² + x + 1)dx ≈ 0.85938

Bước 4: Tổng hợp ý những thành phẩm tính được kể từ những phân đoạn nhằm dò thám rời khỏi thành phẩm của bài bác toán:

∫₀¹ (x³ + x² + x + 1)dx ≈ 0.02734 + 0.15625 + 0.37109 + 0.85938 ≈ 1.41306

Vậy, thành phẩm tích phân từng phần của hàm số f(x) bên trên đoạn kể từ 0 cho tới một là 1.41306.

Kết luận

Phương pháp tích phân từng phần chung xử lý việc tích phân một cơ hội đơn giản và dễ dàng và nhanh gọn bằng phương pháp phân tách đoạn tích phân trở thành những phân đoạn giản dị và đơn giản rộng lớn, tính tích phân của từng phân đoạn, và tổ hợp những thành phẩm tính được kể từ những phân đoạn. Đây là một trong những trong mỗi cách thức tính tích phân cơ phiên bản và được dùng thoáng rộng nhập giải tích.

Nguồn tham lam khảo: https://www.math24.net/iterated-integrals/

Xem thêm: Mới: 3 cách khám bệnh không cần mang theo thẻ BHYT cũng được hưởng đủ quyền lợi, nắm lấy để dùng khi cần thiết