Cách tính độ dài trung tuyến trong tam giác và ứng dụng trong giải toán

LÝ THUYẾT VỀ ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN TRONG TAM GIÁC

Đường trung tuyến nhập tam giác là đoạn trực tiếp nối kể từ đỉnh của tam giác cho tới những cạnh đối lập, và từng tam giác với 3 đàng trung tuyến. Đây là công thức tính chừng nhiều năm trung tuyến nhập tam giác:

Bạn đang xem: Cách tính độ dài trung tuyến trong tam giác và ứng dụng trong giải toán

Độ nhiều năm đàng trung tuyến nhập tam giác = một nửa x chừng nhiều năm cạnh đối lập xác định

Với tam giác ABC, tao có:

• Đường trung tuyến kể từ đỉnh A: Từ A vẽ đường thẳng liền mạch tuy vậy song với BC hạn chế BC bên trên D, tao có: AD = một nửa BC.
• Đường trung tuyến kể từ đỉnh B: Từ B vẽ đường thẳng liền mạch tuy vậy song với AC hạn chế AC bên trên E, tao có: BE = một nửa AC.
• Đường trung tuyến kể từ đỉnh C: Từ C vẽ đường thẳng liền mạch tuy vậy song với AB hạn chế AB bên trên F, tao có: CF = một nửa AB.

Trong tam giác, trung tuyến là đoạn trực tiếp nối một đỉnh của tam giác với trung điểm của cạnh so với đỉnh tê liệt. Độ nhiều năm trung tuyến được xem vì chưng nửa chừng nhiều năm cạnh ứng với trung tuyến tê liệt.

Tính hóa học đàng trung tuyến của tam giác vuông

Tam giác vuông là 1 trong tình huống đặc trưng của tam giác, nhập tê liệt, tam giác sẽ sở hữu một góc có tính rộng lớn là 90 chừng, và nhì cạnh tạo thành góc này vuông góc cùng nhau. – Do tê liệt, đàng trung tuyến của tam giác vuông sẽ sở hữu không thiếu thốn những đặc thù của một đàng trung tuyến tam giác.

Định lý 1: Trong một tam giác vuông, đàng trung tuyến ứng với cạnh huyền vì chưng nửa cạnh huyền.

Định lý 2: Một tam giác với trung tuyến ứng với 1 cạnh vì chưng nửa cạnh tê liệt thì tam giác ấy là tam giác vuông.

Tính hóa học đàng trung tuyến của tam giác đều, tam giác cân: đàng trung tuyến ứng với cạnh lòng thì vuông góc với cạnh đấy, và phân tách tam giác trở nên 2 tam giác đều nhau.

Công thức tính chừng nhiều năm đàng trung tuyến nhập tam giác

Công thức tính chừng nhiều năm đàng trung tuyến của cạnh ngẫu nhiên vì chưng căn bậc 2 của một trong những phần nhì tổng bình phương nhì cạnh kề trừ một trong những phần tư bình phương cạnh đối. Trong đó: a, b, c theo lần lượt là những cạnh nhập tam giác, quỷ, mb, mc theo lần lượt là những đàng trung tuyến nhập tam giác.

Để tính chừng nhiều năm trung tuyến nhập tam giác ABC với trung tuyến kể từ đỉnh A, tao với công thức:

Độ nhiều năm trung tuyến kể từ đỉnh A = một nửa x chừng nhiều năm cạnh BC

Tương tự động, chừng nhiều năm trung tuyến kể từ đỉnh B và đỉnh C theo lần lượt được xem bằng:

Độ nhiều năm trung tuyến kể từ đỉnh B = một nửa x chừng nhiều năm cạnh AC

Độ nhiều năm trung tuyến kể từ đỉnh C = một nửa x chừng nhiều năm cạnh AB

Ứng dụng của chừng nhiều năm trung tuyến nhập giải toán

Công thức tính chừng nhiều năm trung tuyến nhập tam giác đặc biệt hữu ích nhập giải toán. Một số bài xích luyện tương quan cho tới tính chừng nhiều năm trung tuyến nhập tam giác gồm:

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1:

Cho tam giác ABC, với BC = a, CA = b và AB = c. Chứng minh rằng nếu như b² + c² = 5a² thì nhì trung tuyến kẻ kể từ B và C của tam giác vuông góc cùng nhau.

Lời giải:

Gọi D và E theo lần lượt là trung điểm của AB và AC, G là trọng tâm tam giác ABC. Đặt BE = mb, CD = mc.

Áp dụng công thức trung tuyến nhập tam giác ABC tao có:

Bài luyện về tam giác

Bài 1:

Cho tam giác ABC với BC = a = 10 centimet, CA = b = 8 centimet, AB = c = 7 centimet. Tính chừng nhiều năm những đàng trung tuyến của tam giác ABC.

Lời giải:

Gọi chừng nhiều năm trung tuyến kể từ những đỉnh A, B, C của tam giác ABC theo lần lượt là quỷ, mb, mc. sát dụng công thức trung tuyến tao có:

ma = sqrt((b^2 + c^2 – a^2)/4)

mb = sqrt((c^2 + a^2 – b^2)/4)

mc = sqrt((a^2 + b^2 – c^2)/4)

Vậy:

• Độ nhiều năm đàng trung tuyến kể từ đỉnh A: quỷ = sqrt((8^2 + 7^2 – 10^2)/4) = 3.5 cm
• Độ nhiều năm đàng trung tuyến kể từ đỉnh B: mb = sqrt((7^2 + 10^2 – 8^2)/4) = 5.65 cm
• Độ nhiều năm đàng trung tuyến kể từ đỉnh C: mc = sqrt((10^2 + 8^2 – 7^2)/4) = 4.8 cm

Bài 2:

Cho tam giác ABC cân nặng bên trên A, hai tuyến phố trung tuyến BD và CE hạn chế nhau bên trên G. Kéo nhiều năm AG hạn chế BC bên trên H.

a. So sánh tam giác AHB và tam giác AHC.

b. Gọi I và K theo lần lượt là trung điểm của GA và GC. Chứng minh rằng AK, BD, CI đồng quy.

Xem thêm: Hòa Thân cả đời e dè sợ hãi 1 người không phải Vua, là ai?

Lời giải:

a. Ta với BD là đàng trung tuyến của tam giác ABC, CE là đàng trung tuyến của tam giác ABC. Vậy G là trọng tâm tam giác ABC. Mà AH trải qua G nên AH là đàng trung tuyến của tam giác ABC. Do tê liệt, tao với HB = HC. Xét nhì tam giác AHB và tam giác AHC có:

• AB = AC (tam giác ABC cân nặng bên trên A)
• AH chung
• HB = HC
• ⇒ ΔAHB = ΔAHC (c – c – c)

b. Ta với IA = IG nên CI là đàng trung tuyến của tam giác AGC (1). Ta lại sở hữu KG = KC nên AK là đàng trung tuyến của tam giác AGC (2). DG là đàng trung tuyến của tam giác AGC (3). Từ (1), (2), (3) suy rời khỏi 3 đàng trung

Bài 3:

Chứng minh AM = BC nhập tam giác ABC

a) Chứng minh M là trung điểm của CD

Xét tam giác BDC với AB = AD, suy rời khỏi AC là đàng trung tuyến của tam giác BCD. Mặt không giống, tao có:

• AE = 1/3 AC
• AD = AB

Vậy D và E là nhì điểm bên trên đường thẳng liền mạch đối của AB và AC sao mang đến AD = AB và AE = 1/3 AC. Theo toan lý trọng tâm, tao với E là trọng tâm tam giác BCD.

Khi tê liệt, tia BE hạn chế CD bên trên điểm M, tao với BM là đàng trung tuyến của tam giác BCD. Suy rời khỏi M là trung điểm của CD.

b) Chứng minh AM = BC

Ta có:

• Điểm trung tâm của tam giác đều là trọng tâm, vậy G là trọng tâm tam giác ABC.
• M là trung điểm của CD, suy rời khỏi CM = MD.

Áp dụng toan lí Pappus mang đến cặp đường thẳng liền mạch (A,C,B) và (M,C,D), tao có:

• Điểm E là vấn đề kí thác của AB và CM.
• Điểm F là vấn đề kí thác của BC và MD.
• Điểm G là vấn đề trọng tâm của tam giác ABC.

Theo toan lí Pappus, tao có:

EF // AB, EF // CD, AG // BM

Suy rời khỏi tam giác AEF và tam giác BMD đồng dạng. Vậy:

AE/BM = EF/MD = AB/BC = 1

Vậy AM = BE = BC, tao với vấn đề cần chứng tỏ.

Bài 4:

Cho tam giác ABC vuông ở A, với AB = 18cm, AC = 24cm. Tính tổng những khoảng cách kể từ trọng tâm G của tam giác cho tới những đỉnh của tam giác.

Hướng dẫn giải:

Gọi AD, CE, BF theo lần lượt là những đàng trung tuyến nối kể từ đỉnh A, C, B của tam giác ABC.

Dễ dàng suy rời khỏi AE = EB = 9cm, AF = FC = 12cm.

Ta với tam giác ABC vuông tuy nhiên BC là cạnh huyền, vận dụng toan lý Pitago tao có:

BC² = AB² + AC² ⇒ BC² = 18² + 24² = 900 ⇒ BC = 30cm

Ta với ABC vuông tuy nhiên D là trung điểm cạnh huyền nên AD = BD = DC = 15cm.

Suy ra: AG = 2/3 AD = 10cm.

Xét tam giác AEC vuông bên trên A, vận dụng toan lý Pitago tao có:

EC² = AE² + AC² ⇒ EC² = 9² + 24² = 657 ⇒ EC = 3√73 centimet ⇒ CG = 2/3 EC = 2√73 cm

Tương tự động tao xét tam giác AFB vuông bên trên A, vận dụng toan lý Pitago tao có:

BF² = AB² + AF² ⇒BF² = 18² + 12² = 468 ⇒ BF = 6√13 centimet ⇒ BG = 2/3 BF = 4√13 cm

Tổng những khoảng cách kể từ trọng tâm G của tam giác cho tới những đỉnh của tam giác là:

AG + BG + CG = 10 + 4√13 + 2√73 (cm)

Nguồn tham ô khảo: https://vi.wikipedia.org/wiki/Trung_tuy%E1%BA%BFn

Xem thêm: Người không quân tử thường có 3 đặc điểm này, tốt nhất nên cắt đứt quan hệ càng sớm càng tốt